증명에 수학적 증명이 있고 또 찾아보니 극좌표계 증명이 있는 것 같지만 여기서는 제가 가진 대학교재의 기하학적( Geometry) 방법으로 증명합니다. 뭐 가장 쉽기 때문이죠.
dt 시간이 흐른 후 dθ만큼 이동하여 ri -> rf로 갔을 때 Vi, Vf가 그려지고 이때 dv를 구하기 위해 Vf - Vi를 합니다.
여기서는 대학 교재와는 다르게 합니다. 왜냐면 그거 당최 이해도 안 갈 뿐더러 Vf, Vi 벡터 시작점도 다른데 그냥 미소량이라서 같다 그러니 동각이다 퉁쳐넣고 넘어가니 이해가 안가기 때문입니다.
어쨌든 이제 Δv인 Vf-Vi를 구했는데 이 방향은 항상 구의 중심 방향입니다. 왜냐면 지금 이 모든 증명이 등속도 원운동이라는 가정을 깔고 하고 있기 때문에 가속도 a의 접선가속도 성분이 0이고 따라서 구심가속도 성분밖에 없는데다. 애초에 지금 구하려는 가속도 a 그 자체가 구심가속도 Ac( centrifugial accerlation )이기 때문입니다.
지금 등속도 가정을 깔고 들어가고 있으니깐 크기 면에서 |Vf| = |Vi| = V를 하고,
그러고 위 빨간색 Δv 부분에서 현재 dθ를 라디안으로 보고 있으므로 dv(=Δv ) = dθ*V
dθ가 아주 작다 극미소로 퉁치면 dS는 호 길이랑 같다 해서 dS= dθ*r
그러면 접선속도 V는 시간 dt에 dS를 이동했으므로 V = dS / dt 에서
V = dθ*r / dt
이제 dv = dθ*V 하고 V = dθ*r / dt 을 조합하면 ( dθ로 엮어서 dv/dt인 a를 끌어냄 )
V = (dv / V) *r / dt -> dv / dt = V^2/r ->
a=v^2/r
끝.
마지막으로 왜 위 등변삼각형 각이 저렇게 되었는가 하면
이기 때문.
예전엔 이런거 볼 때마다 극소이면 호나 직선이나 거기서 거기니 퉁친다... 이런 말을 들을 때마다, 이런 식의 논리를 들을 때마다 수학이던 물리던 뭔가 사기를 당하는 느낌에 도저히 집중도 안되고 외우기도 싫고 그랬는데 지금 졸업 3년째 백수이다보니 지금은 그냥 그렇구나 한다. 다른 증명법도 있다는데 별다른 말이 없는거 보니 결론이 똑같을게 뻔한데 그렇다면 접근법이 어떻게 되었던 결론은 일단 맞다는 말이 아닌가. 그체?
일단 위로 끝내고 이 밑으로는 최근에 인도인지 그쪽 억센트 나는 영어 쓰는 인간이 요즘 유투브에서 물리로 뜨는데. 그 인간이 올렸던 a=v^2/r에 대한 내용이 좋아서 더 써둔다.
가끔 유투브 지나가다 보면 매우 영세한데 떡잎부터 이새끼는 잘 될 것 같다고 삘이 오는 인간들이 있다. 이 사람도 특유의 물리란 주제에 대해서 흥분하는 그 느낌이 잘 전달되어서 아 되겠구나 했는데 요즘 보니 브릴리언트인가 외부 광고 때리고 있고, 최근 조회수 끌이 할만한 한 프레임에서의 동시에 일어난 두 사건은 다른 레퍼런스 프레임에서 그 동시성을 보장 못한다는 주제로 열심히 떠들고 있는거 보니 물 들어올때 노 젓는다는게 딱 보였다.
잡소리는 이만하고
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a=v^2/r를 외우기 쉽도록 말한 왜 식이 저런지에 대한 내용이였는데
우선 우변 분자 v^2를 보자. 왜 제곱이냐. 이제 가속도와 속도의 관계를 보면 dv/dt, v 의 관계인데 여기서 속도 v가 2배가 되었다고 해 보자. 그렇다면 우리가 목표로 하는 dv/dt에서 dv는 당연히 v가 2배 뛰었으므로 dv도 2배가 뛴다. 근데 여기서 생각을 해 보면 같은 거리인데 v가 2배가 뛰어버리면 걸린 시간 dt는 어떻게 되는가? 당연히 반쪼가리 1/2로 줄어든다.
다시 말해서 v가 3배로 뛰면 어떻게 되는가? dv는 3배인데 dt는 1/3배이다. 그래서 a와 v의 관계가 제곱 squred의 관계이다.
그러면 1/r은 어디서 튀어나왔으냐. 지금 구에서 거리관계가 2π*r인데 그러므로 거리가 r에 비례한다. 근데 v는 상수인데 거리가 2배 되면 걸린 시간dt는 당연히 절반인 1/2이다. 그래서 a와의 관계에서 r이 inversly propotional인 반비례 하므로 이걸 하나로 정리하면 a=v^2/r이다.